Родился в дворянской семье. Отец, Иван Александрович, работал частным поверенным городского суда; мать, Мария Николаевна, — музыкальным педагогом. Было 5 братьев и сестра. Сначала жили в собственном двухэтажном доме на улице Крестовой, а после его продажи снимали квартиру в доме № 4 на улице Мологской (ныне Чкалова). Отец скончался, когда Льву было 4 года, чтобы заработать на жизнь мать была вынуждена устраивать благотворительные концерты. После 1917 года семья переехала в город Ростов той же губернии, Мария Николаевна возглавляла там первый детский сад.
С 1922 года Ошанины жили в Москве. После окончания восьми классов Ошанин работал токарем на чугунолитейном заводе, а затем экскурсоводом на выставке, впоследствии ставшей ВДНХ. Посещал рабочий литературный кружок «Закал», при поддержке которого издал свою первую книгу — повесть «Этажи» о школьных годах. Был принят в Российскую ассоциацию пролетарских писателей (РАПП). Стал публиковать стихи в «Комсомольской правде», «Огоньке», «Молодой гвардии».
Пошли слухи, что под биографию писателя «копают», друзья посоветовали ему уехать из Москвы. В 1932–1935 годах находился в тундре на строительстве города Хибиногорска: работал на Хибиногорской апатитовой фабрике, затем директором клуба горняков, а после разъездным корреспондентом газеты «Кировский рабочий». Однако дворянское происхождение не давало спокойно жить и здесь — после доноса завистников Ошанина изгнали из комсомола и уволили из газеты.
Лев Иванович вернулся в столицу, где в 1936 году поступил в Литературный институт имени А. М. Горького. Женился на литераторе Елене Успенской — внучке писателя Глеба Успенского, родились дочь Таня и сын Серёжа. Учёбу пришлось бросить.
Из-за плохого зрения Ошанина не взяли в армию даже когда началась Великая Отечественная война, хотя бы военным корреспондентом. Вместе с семьёй он оказался в эвакуации в Казани, его супруга работала там в также эвакуированной газете «Пионерская правда», но сам Лев Иванович устроиться по литературной специальности не смог. Затем семья оказалась в Елабуге. Там Ошанин встретил поэта Б. Л. Пастернака, который посоветовал ему вступить в Союз советских писателей, с членским билетом которого можно было попасть на фронт даже с плохим здоровьем.
Ошанин, заручившись рекомендацией Пастернака, так и сделал. Он стал командироваться на передовую от Политуправления Красной Армии, работать в военных газетах, выступать перед бойцами. Член ВКП(б) с 1944 года. Уже 22 июня 1941 года из репродукторов на сборных пунктах звучала написанная ещё до войны песня на стихи Ошанина «В бой за Родину». В конце войны им были написаны стихи, после Победы положенные на музыку И. О. Дунаевским и ставшие песней «Ехал я из Берлина». Осенью 1945 года на стихи Ошанина была написана знаменитая песня «Дороги».
Член правлений СП РСФСР в 1958–1990 годах и СП СССР с 1976 года.
Известен был семинар Ошанина для молодых поэтов, который Ошанин вёл до последнего года жизни.
Умер поздним вечером 30 декабря 1996 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.